Comment définit-on une partie d'un ensemble E?
Un ensemble A est une partie d'un ensemble E si tous les éléments de A appartiennent à l'ensemble E, noté A ⊂ E.
Quelle est la formule pour le nombre de parties d'un ensemble E à n éléments?
Le nombre de parties de E est 2^n.
p.1
Couples, triplets et k-uplets
Comment est représenté un tirage dans l'expérience des dés?
Comme un couple (i;j) où i et j sont des entiers naturels entre 1 et 6.
Quand les droites d'équations x - 2y = 3 et ax - by = c sont-elles parallèles?
Elles sont parallèles si et seulement si b = 2a.
Comment appelle-t-on l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A?
Le complémentaire de A dans E, noté A̅.
Qu'est-ce qu'un ensemble fini?
Un ensemble est fini de cardinal n (n ≥ 1) si on peut numéroter ses éléments de 1 jusqu'à n, avec un et un seul numéro par élément.
Quelles écritures peuvent correspondre à une réponse d'élève?
a. VFVFVFVVVV, b. FFFFVVV, d. FFFFFFFFFF.
Quel type de représentations est abordé pour dénombrer les objets?
Arbres, tableaux, diagrammes.
p.16
Couples, triplets et k-uplets
Combien de triplets peut-on former avec les chiffres 1, 3 et 5 en tenant compte de la couleur des dés?
Six triplets: (1,3,5), (1,5,3), (3,1,5), (3,5,1), (5,1,3) et (5,3,1).
Donnez un exemple d'ensemble non fini.
L'ensemble des entiers naturels ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} est un exemple d'ensemble non fini.
p.13
Expériences aléatoires
Quels tirages parmi (12,3), (2,12), (4,4), et (14,1) sont possibles?
(12,3) et (4,4) sont possibles.
Combien d'octets possibles existe-t-il?
Il y a 256 octets possibles, soit 2^8.
Quel est le nombre de triplets possibles pour décrire les résultats de trois dés?
card({1,2,3,4,5,6}^3) = 6^3.
Qu'est-ce que l'ensemble des nombres premiers noté P?
C'est un ensemble infini.
Quelles sont les parties de l'ensemble E={a, b, c}?
∅, {a}, {b}, {c}, {a; b}, {a; c}, {b; c}, E.
Que se passe-t-il si A et B sont deux parties disjointes de E?
card(A ∪ B) = card(A) + card(B).
p.16
Couples, triplets et k-uplets
Combien de possibilités y a-t-il pour les cases 1 et 2 dans l'activité 2?
Il y a 4 possibilités en tout.
Pourquoi les ensembles A, B et C forment-ils une partition de E?
Parce qu'un entier naturel a pour reste 0, 1 ou 2 dans sa division euclidienne par 3.
p.11
Couples, triplets et k-uplets
Comment est défini le produit cartésien de p ensembles finis E₁, E₂, ..., Eₚ?
E₁ × E₂ × ... × Eₚ = {(x₁, x₂, ..., xₚ) | x₁ ∈ E₁, x₂ ∈ E₂, ..., xₚ ∈ Eₚ}.
p.4
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Quelle est la valeur binaire de la couleur cyan en RGB?
00101011-11111010-11111010.
p.4
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Comment se convertit le nombre 43 en hexadécimal?
43 en hexadécimal s'écrit 2B.
p.1
Couples, triplets et k-uplets
Quels sont les nouveaux objets à manipuler dans le chapitre sur les ensembles finis?
Couple, triplet, k-uplet (ou k-liste).
p.1
Applications en informatique
Quel domaine d'application est mentionné pour le dénombrement d'objets?
Informatique, génétique, théorie des jeux, probabilités.
Quelle est la formule pour le cardinal de l'union de deux parties A et B d'un ensemble fini E?
card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B).
Combien de triplets sont possibles en lançant trois dés cubiques?
card(E³) = 6 × 6 × 6 = 216 triplets.
Quelle est la probabilité de l'événement E2 (système sans solution)?
La probabilité de l'événement E2 est calculée en fonction des cas où les droites ne se croisent pas.
Que représente le diagramme de Venn dans ce contexte?
Il aide à visualiser les relations entre les ensembles A, H, F, C et P.
Comment dénombrer le nombre de triplets correspondant au résultat 10?
On compte toutes les combinaisons de dés qui donnent 10.
Quels sont les ensembles disjoints dans l'association sportive?
Les ensembles F (femmes) et H (hommes).
Quel est l'ensemble des tirages possibles lorsque l'on lance un dé rouge dodécaédrique et un dé vert tétraédrique?
L'ensemble est noté Ω et est le produit cartésien {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} × {1,2,3,4}.
Combien de réponses possibles un candidat a-t-il pour un QCM de dix questions?
Le cardinal de l'ensemble des réponses possibles E est 1024.
p.7
Couples, triplets et k-uplets
Comment est défini l'ensemble A ∪ B?
Il est formé des éléments de E qui sont dans A ou dans B, au moins un des deux.
Quelle est la probabilité de l'événement E1 (système avec une infinité de solutions)?
La probabilité de l'événement E1 peut être déduite des conditions b = 2a et c = 3a.
Comment peut-on visualiser les issues possibles d'un lancer de pièce?
En utilisant un arbre de décisions avec des branches pour chaque issue.
p.15
Expériences aléatoires
Quelles sont les façons différentes d'obtenir la somme 10 avec trois dés?
1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4 et 3+3+4.
Comment calculer le nombre de 3-listes sans répétition?
Le nombre de 3-listes sans répétition est donné par 6 × 5 × 4 = 120.
Comment est calculée la probabilité de l'événement E2?
p(E2) = 1 - p(E1) - p(E3).
Combien de triplets (i;j;k) constituent l'univers associé à cette expérience?
Il y a 6^3 = 216 triplets possibles.
Comment note-t-on le cardinal d'un ensemble E?
On note le cardinal de E par card(E).
p.4
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Quelle est la représentation hexadécimale de la couleur cyan?
La couleur cyan devient 2BFAFA en hexadécimal.
Comment calculer le nombre d'issues possibles lors d'une succession de n épreuves de Bernoulli?
Le nombre d'issues possibles est card({S, E}^n) = 2^n.
p.16
Couples, triplets et k-uplets
Quels triplets peut-on former avec les chiffres 2, 2 et 5?
Trois triplets: (2,2,5), (2,5,2) et (5,2,2).
Quelle est la probabilité que le système d'équations ait une seule solution (E3)?
La probabilité de l'événement E3 est 99/108.
p.16
Couples, triplets et k-uplets
Quels sont les 2-u-plets distincts mentionnés?
(0,0), (0,1), (1,0) et (1,1).
Comment peut-on dénombrer des parties d'un ensemble?
En classant par catégories distinctes et en prenant la somme des cardinaux de ses catégories.
p.3
Couples, triplets et k-uplets
Combien de triplets (i;j;k) correspondent au tirage où on obtient la face 2 pour deux dés et un 5 pour le troisième dé?
Il y a 3 triplets possibles (2, 2, 5).
p.19
Couples, triplets et k-uplets
Comment peut-on transformer les droites pour qu'elles soient confondues?
En les écrivant sous forme réduite.
p.19
Couples, triplets et k-uplets
Quand les droites se coupent-elles en x=3 et y=0?
Si et seulement si 3a-c=0 et b≠2a.
p.4
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Combien de teintes de couleur différentes peut-on obtenir en RGB?
Il y a 256 teintes pour chaque couleur (rouge, vert, bleu), donc 256 x 256 x 256 = 16,777,216 teintes différentes.
p.4
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Comment se représente la couleur rouge en hexadécimal?
En hexadécimal, deux chiffres suffisent pour représenter la couleur rouge, par exemple 00FF00 pour le vert.
p.12
Couples, triplets et k-uplets
Comment associer un n-uplet à une partie A d'un ensemble E?
On associe 0 si un élément n'appartient pas à A et 1 s'il appartient à A.
Combien de couples (i;j) constituent l'univers associé à l'expérience de lancer deux dés?
36 couples, car chaque dé a 6 faces (6x6).
Quand le système d'équations a-t-il une infinité de solutions?
Il a une infinité de solutions si b = 2a et c = 3a.
p.7
Couples, triplets et k-uplets
Quels sont les éléments de l'ensemble A ∪ B?
A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}.
Quelle est la comparaison de la probabilité des événements C et D?
On compare les chances d'obtenir 9 et 10 avec des dés.
p.3
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Que vaut nmax dans le contexte des 8-uplets?
nmax vaut 255, correspondant à 11111111 en binaire.
p.18
Couples, triplets et k-uplets
Que signifie que l'ordre compte dans un couple?
Cela signifie que les éléments sont considérés comme distincts en fonction de leur position.
p.2
Expériences aléatoires
Quel est le résultat de l'expérience aléatoire avec trois dés?
La somme des nombres sur la face supérieure des dés.
Quel est le cardinal de l'ensemble vide?
Le cardinal de l'ensemble vide est noté card(∅) = 0.
p.12
Couples, triplets et k-uplets
Qu'est-ce qu'un octet en termes de 0 et 1?
Un octet est un 8-uplet (ou une 8-liste) composé de 0 et 1.
p.1
Expériences aléatoires
Quel est l'objectif principal de l'expérience aléatoire avec les dés?
S'intéresser à la somme des nombres situés sur la face supérieure des dés.
Quel est l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 20?
E, l'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 20.
p.7
Couples, triplets et k-uplets
Comment est défini l'ensemble A ∩ B?
Il est formé des éléments communs à A et B.
Quels sont les ensembles A et B dans l'exemple donné?
A est l'ensemble des entiers naturels pairs non nuls inférieurs ou égaux à 20, et B est l'ensemble des entiers naturels multiples de 3 non nuls inférieurs ou égaux à 20.
Quel est le lien entre le cardinal de A et le cardinal de E?
card(A) = card(E) - card(A̅).
Quelle est la probabilité de l'événement E4 (système avec une seule solution (3;0))?
La probabilité de l'événement E4 dépend des conditions c = 3a et b ≠ 2a.
p.15
Couples, triplets et k-uplets
Quels sont les couples qui donnent le résultat 8?
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3) et (6,2).
p.3
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Qu'est-ce qu'un octet en informatique?
C'est une suite de 8 bits (0 ou 1).
p.3
Couples, triplets et k-uplets
Combien de 8-uplets différents composés de 0 et de 1 y a-t-il?
Il y a 256 8-uplets différents.
p.17
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Quelle est la décomposition du nombre 250 en hexadécimal?
250 = 15 × 16 + 10, donc FA.
Comment expliquer l'assertion sur les façons d'écrire 9 et 10?
Il y a un nombre égal de combinaisons de trois nombres entre 1 et 6 qui donnent 9 et 10.
Combien de systèmes d'équations linéaires différents peut-on former avec les valeurs de a, b et c obtenues en lançant un dé cubique parfait trois fois?
Il y a 6^3 = 216 systèmes d'équations différents.
p.11
Couples, triplets et k-uplets
Qu'est-ce que le produit cartésien E × F?
C'est un ensemble fini dont la cardinalité est card(E × F) = card(E) × card(F).
Comment définit-on une partition d'un ensemble fini E?
C'est une famille de parties non vides A1, A2, ..., An de E qui sont disjointes deux à deux et dont l'union est E.
Quelle est la formule pour le cardinal d'un ensemble E constitué de n ensembles disjoints A1, A2, ..., An?
card(E) = card(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = card(A1) + card(A2) + ... + card(An).
Quelle est la formule pour la cardinalité du produit cartésien de p ensembles finis?
card(E₁ × E₂ × ... × Eₚ) = card(E₁) × card(E₂) × ... × card(Eₚ).
p.15
Couples, triplets et k-uplets
Combien de couples (i;j) peuvent être formés avec 1 ≤ i ≤ 6 et 1 ≤ j ≤ 6?
Il y a 36 couples (6 × 6 = 36).
p.15
Couples, triplets et k-uplets
Quels sont les couples qui donnent le résultat 9?
(3,6), (4,5), (5,4) et (6,3).
p.3
Couples, triplets et k-uplets
Combien y a-t-il de 2-uplets différents composés de 0 et de 1?
Il y a 4 2-uplets différents.
Quelle est la formule pour le nombre de combinaisons de 3 éléments dans un ensemble de 7 éléments?
(7 3) = 7! / (3! (7 - 3)!) = 35.
p.19
Systèmes de numération (binaire, hexadécimal)
Comment résoudre le système d'équations?
En multipliant par a la 1ère équation et en soustrayant la deuxième.
Quelle est la comparaison entre la probabilité de l'événement A et l'événement B?
Il faut comparer le nombre de façons d'obtenir 8 et 9.
Quel est l'ensemble C des entiers naturels?
L'ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 20 de la forme 3k + 2, k ∈ ℕ.
Quand le système a-t-il une seule solution qui est (3;0)?
Il a une seule solution (3;0) si c = 3a et b ≠ 2a.
Donnez un exemple d'une partition d'un ensemble d'entiers naturels inférieurs ou égaux à 20.
A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} et B = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19}.
Comment dénombrer le nombre de triplets correspondant au résultat 9?
On compte toutes les combinaisons de dés qui donnent 9.
p.3
Applications en informatique
Comment les couleurs sont-elles codées dans le système RVB?
Par trois nombres compris entre 0 et nmax, chacun étant un 8-uplet.
Quels sont les nombres premiers entre 1 et 37?
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 et 37.
p.2
Expériences aléatoires
Quel est l'événement A dans l'expérience aléatoire?
Le résultat de l'expérience aléatoire est 8.
Combien de triplets sont obtenus si on tire trois nombres différents: 1, 3 et 5?
Il y a 3! = 6 façons d'organiser ces trois nombres.
p.11
Expériences aléatoires
Que représente l'ensemble {0,1}ᵖ dans le contexte d'un lancer de pièce?
C'est l'ensemble des issues possibles, comptant 2ᵖ issues.
p.15
Expériences aléatoires
Quelles sont les façons différentes d'obtenir la somme 9 avec trois dés?
1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4 et 3+3+3.
Que signifie que tout adhérent pratique au moins un sport?
Cela implique que chaque membre de l'association est actif dans au moins une discipline sportive.
Quelle est la formule pour le cardinal de l'intersection de deux ensembles?
card(P ∩ C) = card(P) - card(P ∩ C) = 19 - 5 = 14.
p.18
Couples, triplets et k-uplets
Comment détermine-t-on si deux droites sont parallèles?
Si deux vecteurs normaux des deux droites sont colinéaires.
Pourquoi le résultat 10 est-il plus probable que le résultat 9?
Bien qu'il y ait autant de façons d'écrire 9 et 10, le total de 10 se produit plus souvent.
Comment dénombrer les couples correspondant au résultat 8?
En identifiant toutes les combinaisons possibles de deux entiers naturels qui s'additionnent à 8.
p.2
Couples, triplets et k-uplets
Qu'est-ce qu'un triplet (i;j;k) dans cette expérience?
Un triplet où i, j et k sont des entiers naturels entre 1 et 6 obtenus avec trois dés.
